Question

已知(sinA+sinB+sinC)-(cosA+cosB+cosC)=1，求三角形的形状

我们老师说去掉一个角直接化简就行，谁能告诉我怎么化简？或者有别的方法证明也行。好的追分...

Answer 1

因为 (sinA+sinB+sinC)-(cosA+cosB+cosC) = 1
所以 sinA+sinB+sinC = cosA+cosB+cosC + 1.
两边平方得到：
(sinA+sinB+sinC)² = sin²A+sin²B+sin²C+2(sinAsinB+sinAsinC+sinBsinC)
(cosA+cosB+cosC+1)²
=cos²A+cos²B+cos²C+2(cosAcosB+cosAcosC+cosBcosC)+2(cosA+cosB+cosC)+1
所以
(cosA+cosB+cosC+1)²-(sinA+sinB+sinC)²
=[(cos²A+cos²B+cos²C)-(sin²A+sin²B+sin²C)]
+[2(cosAcosB+cosAcosC+cosBcosC)-2(sinAsinB+sinAsinC+sinBsinC)]
+2(cosA+cosB+cosC)+1 (利用倍角公式和cos的和角公式)
=(cos2A+cos2B+cos2C)+2[cos(A+B)+cos(A+C)+cos(B+C)]+2(cosA+cosB+cosC)+1
=(cos2A+cos2B+cos2C)+1
=0
又因为
cos2A+cos2B+cos2C+1 (前两项用和差化积公式，后两项用倍角公式)
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos²C
=-2cosCcos(A-B)+2cos²C
=2cosC[cosC-cos(A-B)]
=-4cosC[sin (C-A+B)/2 * sin (C+A-B)/2]
=-4cosC[sin (π-2A)/2 * sin (π-2B)/2]
=-4cosAcosBcosC
=0
所以必有 cosA，cosB，cosC 其一为0，从而△ABC是直角三角形。

Answer 2

sinA+sinB+sinC-(cosA+cosB+cosC+1)
=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)cos(C/2)-2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2
=2cos(C/2)cos((A-B)/2)+2sin(C/2)cos(C/2)-2sin(C/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2
=2{[cos(C/2)-sin(C/2)]cos((A-B)/2)+[sin(C/2)-cos(C/2)]cos(C/2)}
=2[cos(C/2)-sin(C/2)][cos((A-B)/2)-cos(C/2)]=0
当cos(C/2)-sin(C/2)=0或cos((A-B)/2)-cos(C/2)=0时成立。
直角三角形。

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2) 会证明吧？
吧A=(A+B)/2+(A-B)/2,B=(A+B)/2-(A-B)/2带进去。

Answer 3

因为 (sinA+sinB+sinC)-(cosA+cosB+cosC) = 1
所以 sinA+sinB+sinC = cosA+cosB+cosC + 1.
两边平方得到：
(sinA+sinB+sinC)² = sin²A+sin²B+sin²C+2(sinAsinB+sinAsinC+sinBsinC)
(cosA+cosB+cosC+1)²
=cos²A+cos²B+cos²C+2(cosAcosB+cosAcosC+cosBcosC)+2(cosA+cosB+cosC)+1
所以
(cosA+cosB+cosC+1)²-(sinA+sinB+sinC)²
=[(cos²A+cos²B+cos²C)-(sin²A+sin²B+sin²C)]
+[2(cosAcosB+cosAcosC+cosBcosC)-2(sinAsinB+sinAsinC+sinBsinC)]
+2(cosA+cosB+cosC)+1 (利用倍角公式和cos的和角公式)
=(cos2A+cos2B+cos2C)+2[cos(A+B)+cos(A+C)+cos(B+C)]+2(cosA+cosB+cosC)+1
=(cos2A+cos2B+cos2C)+1
=0
又因为
cos2A+cos2B+cos2C+1 (前两项用和差化积公式，后两项用倍角公式)
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos²C
=-2cosCcos(A-B)+2cos²C
=2cosC[cosC-cos(A-B)]
=-4cosC[sin (C-A+B)/2 * sin (C+A-B)/2]
=-4cosC[sin (π-2A)/2 * sin (π-2B)/2]
=-4cosAcosBcosC
=0
所以必有 cosA，cosB，cosC 其一为0，从而△ABC是直角三角形。