Question

求一道高数题7.

Answer 1

1、x∫f(t)dt = ∫xf(t)dt
因为x相对于后面的关于t的积分是一个常数，积分过程中，x不积分，积分结果的表达式如何与x在积分符合里外无关
如f(t)=t,则x∫tdt = x·(t²/2)|[0,x] = x³/2, ∫xtdt = (xt²/2)|[0,x] = x³/2

2、∫(0,x)(x-t)f(t)dt这个积分，t的取值范围是0<t<x

3、按中值定理，∫(0,x)f(t)dt =f(y)(x-0), (0<y<x), ∫(0,x)(x-t)f(t)dt = (x-z)f(z)·(x-0) (0<z<x)
这里，y,z就是中值定理中的那个必然存在的一点
由于对0<y,z<x
f(y)>0, (x-z)f(z)>0 (见当0<t<x时，f(t)>0, (x-t)f(t)>0,是y、z还是t没有关系，只是换了个字母，满足条件在0和x之间就行)
而y>0,z>0
所以f(y)(x-0) =f(y)x>0， (x-z)f(z)·(x-0) = (x-z)f(z)x > 0

Answer 2

y' = x^2/2 - cosx + C1
y = x^3/6 - sinx + C1x + C2