Question

求一道高数题11.

Answer 1

求微分方程 y''+(1/x)y'=1的通解
解：令y'=dy/dx=p；则y''=dp/dx；代入原式得：dp/dx+p/x=1;
先求齐次方程 dp/dx+p/x=0的通解：
分离变量得：dp/p=-dx/x；积分之得：lnp=-lnx+lnc₁=ln(c₁/x)；
故齐次方程的通解为：p=c/x；将c换成x的函数u；则有：p=u/x...........①
将①对x求导得：y''=dp/dx=(xu'-u)/x²=(u'/x)-u/x²...........②
将①②代入原式得：(u'/x)-u/x²+u/x²=1
化简得：u'/x=1；即有u'=x，故du=xdx；∴u=(1/2)x²+c₁...........③
将③代入①式得：p=dy/dx=(1/2)x+c₁/x;
∴通解y=∫[(1/2)x+c₂/x]dx=(1/4)x²+c₂ln∣x∣+c₂;

Answer 2

该微分方程属于缺 y 型。
设 y' = p 则 y'' = dp/dx
微分方程化为 dp/dx + p/x = 1
p = e^(-∫dx/x)[∫1e^(∫dx/x)dx + C1]
= (1/x)[∫xdx + C1] = (1/x)(x^2/2+C1) = x/2 + C1/x = dy/dx
y = x^2/4 + C1ln|x| n+ C2

Answer 3

这个是分布微分法，将正弦函数换到微分符号的后面，然后运用方法来一部部分布积分。

Answer 4