求一道高数题14.
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该微分方程属于缺 y 型。
设 y' = p 则 y'' = dp/dx
微分方程化为 3xp^2dp/dx = p^3
p = 0 或 3xdp/dx = p
p = dy/dx = 0, 得 y = C；
3xdp/dx = p, dp/p = dx/(3x)
lnp = (1/3)lnx + lnC1
p = C1x^(1/3) = dy/dx
y = (3C1/4)x^(4/3) + C2 = (C1)'x^(4/3) + C2
设 y' = p 则 y'' = dp/dx
微分方程化为 3xp^2dp/dx = p^3
p = 0 或 3xdp/dx = p
p = dy/dx = 0, 得 y = C；
3xdp/dx = p, dp/p = dx/(3x)
lnp = (1/3)lnx + lnC1
p = C1x^(1/3) = dy/dx
y = (3C1/4)x^(4/3) + C2 = (C1)'x^(4/3) + C2
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求微分·方程· 3x(y')²y''=(y')³的通解
解：(y')²(3xy''-y')=0
由(y')²=0 ..........①，得y'=0, 故有y₁=c₁；
由3xy''-y'=0...........② ，令y'=dy/dx=p，则y''=d²y/dx²=dp/dx；
代入②式得 3x(dp/dx)-p=0; 分离变量得：dp/p=(1/3x)dx;
积分之得 lnp=(1/3)lnx+lnc₂=lnc₂x^(1/3);
故p=dy/dx=c₂x^(1/3); ∴dy=[c₂x^(1/3)]dx;
∴ y₂=∫[c₂x^(1/3)]dx=(3/4)c₂x^(4/3)+c₃;
解：(y')²(3xy''-y')=0
由(y')²=0 ..........①，得y'=0, 故有y₁=c₁；
由3xy''-y'=0...........② ，令y'=dy/dx=p，则y''=d²y/dx²=dp/dx；
代入②式得 3x(dp/dx)-p=0; 分离变量得：dp/p=(1/3x)dx;
积分之得 lnp=(1/3)lnx+lnc₂=lnc₂x^(1/3);
故p=dy/dx=c₂x^(1/3); ∴dy=[c₂x^(1/3)]dx;
∴ y₂=∫[c₂x^(1/3)]dx=(3/4)c₂x^(4/3)+c₃;
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