Question

数学题五道

1.有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29、23、21和17岁，则这四个人中最大年龄与最小年龄的差是_____岁。
2.初一三班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发现两次报数时，报20的两名同学之间（包括这两名）恰有15人，则全班同学共有____人
3.已知m+n-p=0，求m（1/n-1/p)+n(1/m-1/p)-p(1/m+1/n)的值？（写清过程）
4.（1）证明：奇数的平方被8除余1，（2）请进一步证明：2011不能为10个奇数的平方之和。（写清证明过程）
5.老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为25千米/时，这辆摩托车后座可带一名学生，带学生后速度为20千米/时，学生步行的速度为5千米/时，请设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3h。

Answer 1

1.有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29、23、21和17岁，则这四个人中最大年龄与最小年龄的差是8岁。
2.初一三班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发现两次报数时，报20的两名同学之间（包括这两名）恰有15人，则全班同学共有25或53人
3.已知m+n-p=0，求m（1/n-1/p)+n(1/m-1/p)-p(1/m+1/n)的值？
m(1/n-1/p)+n(1/m-1/p)-p(1/m+1/n)
=m/n-m/p+n/m-n/p-p/m-p/n
=(m-p)/n+(n-p)/m-(m+n)/p
m+n-p=0
m-p=-n n-p=-m m+n=p
所以原式=(-n)/n+(-m)/m-p/p=-1-1-1=-3
4.（1）证明：奇数的平方被8除余1，（2）请进一步证明：2011不能为10个奇数的平方之和。
（1）证：
设奇数是2n-1(n∈Z)
(2n-1)²=4n²-4n+1=4n(n-1)+1
因为n和n-1中必有一个偶数，所以n(n-1)能被2整除
所以4n(n-1)能被8整除
所以4n(n-1)+1被除余1
命题得证
（2）反证法
假设2011可以为10个奇数的平方之和
那么奇数的平方也是奇数，也就是说2011可以为10个奇数之和
10个奇数之和必是偶数，这与2011是奇数矛盾，所以假设不成立
原命题得证
5.老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观，老师乘一辆摩托车，速度为25千米/时，这辆摩托车后座可带一名学生，带学生后速度为20千米/时，学生步行的速度为5千米/时，请设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3h。
思路：设老师为T（teacher），学生为S1，S2（student）
老师先带S1骑摩托车，S2走着去，设时间为t1
还没到博物馆的时候，老师返程去接S2，让S1走着去博物馆，老师从开始返程到与S1见面的时间为t2
最后老师带S2骑摩托车到博物馆，同时S1也到达了博物馆，时间为t3
方程为
20t1+5(t2+t3)=33
30t2+5t1+5(t2+t3)=33
5(t1+t2)+20t3=33
解得t1=t3=1.2小时
t2=0.6小时
t1+t2+t3=3小时
没有超过3个小时，得出结果。
所以也就是说先带S1走1.2小时，再返回去接S2，然后大家同时到达