Question

已知，如图1，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN,（1）判断图中平行的直线，并给予证明。（2

已知，如图1，∠1+∠2=180°，∠AEF=∠HLN,（1）判断图中平行的直线，并给予证明。（2）如图2，∠PMQ=2∠QMB,∠PNQ=2∠QND,请判断∠P与∠Q的数量关系，并证明。

Answer 1

AB CD平行。。。EF与HL平行
∠1+∠2=180° 已知
∠2+∠MND=180 （互补）
∠1=∠MND （等量代换）
AB与CD平行 （同位角相等）

延长LH交AB于P
由第一问证得的平行 得到 ∠LPA=∠HLN
等量代换一次 ∠LPA=∠FEA
EF 与HL平行 （仍是同位角相等。
）

2T 此题题干原文 应该也是共用了 角1+角2=180度
才能做。。

三角形内角和
∠PNM+∠NMP+∠P=180 条件一
∠QNM+∠QMN+∠Q=180 改写 ∠PNM+∠NMP+∠PNQ+∠QMP+∠Q=180 条件2
将第一个条件 代入条件2 整理中。
180-∠P+∠PNQ+∠QMP+∠Q=180

-∠P+∠PNQ+∠QMP+∠Q=0

∠PNQ+∠QMP=∠P-∠Q 条件4
由第一问中的证明很容易得到两线平行。
有同旁内角互补 即
∠DNM+∠BMN=180
改写 为 ∠PNM+∠PNQ+∠QND+∠QMB+ ∠QMP+∠NMP=180 条件3
两两组合 （∠PNM+∠NMP）+（∠PNQ+ ∠QMP）+（∠QND+∠QMB）=180
代入条件1 条件4 已知
即 180-∠P + ∠P-∠Q + 1 /2(∠PNQ+ ∠QMP)=180
有 ∠Q=1/2(∠P-∠Q)

追问

还有第二问呢？

Answer 2

∴∠AMN+∠2=180°，
∴AB∥CD；
延长EF交CD于F₁，
∵AB∥CD，∠AEF=∠HLN，
∴∠AEF=∠EF₁L，
∴EF∥HL；

（2）∠P=3∠Q，
证明如下：∵AB∥CD，作QR∥AB，
∴∠RQM=∠QMB，RQ∥CD，
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠QMB+∠QND，
同理∠MRN=∠PMB+∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，
∴∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND，
∴∠MRN=3∠MQN，
即∠P=3∠Q；