Question

高二的不等式证明题

a≥b＞0，p=a的三分之一次方减b的三分之一次方，q=（a-b）的三分之一次方，比较p与q的大小？
请写出最巧妙的方法 谢谢啦！

Answer 1

p³=a-3a^(2/3)b^(1/3)+3a^(1/3)b^(2/3)-b
=a-b-3a^(1/3)b^(1/3)[a^(1/3)-b^(1/3)]
q³=a-b

a>0,b>0
a≥b
所以3a^(1/3)>0
b^(1/3)>0
a^(1/3)-b^(1/3)≥0
所以-3a^(1/3)b^(1/3)[a^(1/3)-b^(1/3)]≤0
所以p³-q³≤0
p≤q

Answer 2

p^3-q^3=a-b-3a^(2/3)*b^(1/3)+3a^(1/3)*b^(2/3)-(a-b)
=3a^(1/3)*b^(1/3)[b^(1/3)-a^(1/3)]
a≥b＞0
3a^(1/3)*b^(1/3)[b^(1/3)-a^(1/3)]<=0
p^3-q^3<=0
0<p<=q