Question

图片中高中数学第10题不懂，盼高手详细分析讲解，谢谢！

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Answer 1

这是一道小题，小题要小做，做好的方法就是数形结合，由分析可知f(x)导数=0的解为x1，x2。即后面方程的解为f(x)=x1或x2，f(x)图形走势只有一种，如下图中曲线，图中三个黑圆点即为三个解，有什么不明白的可追问，非常乐意回答！

Answer 2

显然f(x)的定义域为R
易知f'(x)=3x^2+2ax+b
因f(x)有两个极值点x1、x2
则f'(x)=0有两个不同实根（解）x1、x2
即关于x的方程3x^2+2ax+b=0有两个不同实根x1、x2
即关于f(x)的方程3f(x)^2+2af(x)+b=0有两个不同实根x1、x2
（注意：这里x1、x2并不是关于x的方程3f(x)^2+2af(x)+b=0的解）
即有f(x)=x1或f(x)=x2
事实上，关于x的方程3f(x)^2+2af(x)+b=0的实根由关于x的方程f(x)=x1和关于x的方程f(x)=x2决定
而关于x的方程f(x)=x1的实根个数就是函数y=f(x)与y=x1图象的交点个数
且关于x的方程f(x)=x2的实根个数就是函数y=f(x)与y=x2图象的交点个数

注意到关于x的方程3x^2+2ax+b=0有两个不同实根x1、x2
表明开口向上的抛物线y=3x^2+2ax+b与x轴有两个不同交点
令x1<x2，显然：
当x<x1时f'(x)>0，表明f(x)递增
当x1<x<x2时f'(x)<0，表明f(x)递减
当x>x2时f'(x)>0，表明f(x)递增
也就是说，x1为极大值点，x2为极小值点
由此可见，f(x)大致图象为“N”型

显然函数y=f(x)与y=x1图象会产生两个交点（注意，y=x1为水平直线）
因f(x1)=x1，表明一个交点为f(x)极值点x1对应的点，即（x1，f(x1)）
而另外一个交点在f(x)极值点x1的右侧（注意“N”型图象）
所以关于x的方程f(x)=x1有两个不同实根

因x2>x1，则水平直线y=x2高于水平直线y=x1
表明水平直线y=x2与函数y=f(x)图象只可能产生一个交点（注意“N”型图象）
所以关于x的方程f(x)=x2有一个不同实根

综上，关于x的方程3f(x)^2+2af(x)+b=0有三个不同实根