Question

如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点

A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图2）．（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；（2）当DB′∥AE时，试求旋转角α的度数．

Answer 1

(1) 在△B`AD和△C`AE中
AD＝AE（D、E是中点）
∠B`AD＝∠C`AE（△AB′C′是△ABC旋转得到的对应边的夹角相等）
AB`＝AC`（AB＝AC）
所以△B`AD和△C`AE全等（SAS）
所以DB′＝EC′
（2）因为DB′∥AE，所以∠ADB`＝∠EAD＝90度（内错角）
又∠AEC`＝∠ADB`（已证），所以∠AEC`＝90度
所以△AEC`为直角三角形
又因为AE＝1/2AC＝1/2AC`
所以∠EC`A＝30度
所以α＝60度

Answer 2

解：（1）DB′=EC′．理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点，
∴AD=AE=1/2AB，
∵△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′，
∴∠B′AD=∠C′AE=α，AB′=AB，AC′=AC，
∴AB′=AC′，
在△B′AD和△C′AE中，
∵AB'=AC',∠B'AD=∠C'AE，AD=AE
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′=EC′；
（2）∵DB′∥AE，
∴∠B′DA=∠DAE=90°，
在Rt△B′DA中，
∵AD=1/2AB=1/2AB′，
∴∠AB′D=30°，
∴∠B′AD=90°-30°=60°，
即旋转角α的度数为60°．