Question

请问一个函数的奇偶性怎么判断？

Answer 1

ln(1+根号(1+X^2))是偶函数但是ln(x+根号(1+X^2))是奇函数,你要小心f(x)=ln(x+根号(1+X^2)),则f(-x)=ln(-x+根号(1+X^2)),f(x)+f(-x)=ln1=0

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= - f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。在奇函数f（x）中，f（x）和f（-x）的符号相反且绝对值相等，即f(-x)=-f(x)，反之，满足f(-x)=-f(x)的函数y=f（x）一定是奇函数。例如:f(x)=x^(2n-1),n∈Z;(f(x)等于x的2n-1次方,n属于整数)。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数。偶函数的定义域必须关于y轴对称，否则不能成为偶函数。如果知道函数表达式,对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都满足 f(x)=f(-x) 如y=x*x;，y=cos x。

Answer 2

函数的奇偶性判断是指判断一个函数在其定义域内是否为奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。以下是奇偶性判断的方法：

奇函数： 如果对于函数的定义域内的任何 x，都有 f(-x) = -f(x)，即函数关于原点对称，那么这个函数就是奇函数。

偶函数： 如果对于函数的定义域内的任何 x，都有 f(-x) = f(x)，即函数关于y轴对称，那么这个函数就是偶函数。

既不是奇函数也不是偶函数： 如果函数既不满足奇函数的条件，也不满足偶函数的条件，那么它就既不是奇函数也不是偶函数。

常见的一些函数的奇偶性判断：

幂函数 x^n 当 n 为奇数时是奇函数，当 n 为偶数时是偶函数。
正弦函数 sin(x) 是奇函数。
余弦函数 cos(x) 是偶函数。
指数函数 e^x 既不是奇函数也不是偶函数。
对数函数 ln(x) 既不是奇函数也不是偶函数。
需要注意的是，有些函数在某个特定区间内可能是奇函数或偶函数，但在整个定义域内不一定满足奇偶性。因此，判断函数的奇偶性时需要考虑函数的定义域。奇偶性判断对于简化函数的分析和计算非常有用。