Question

如图，圆O是三角形ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E,F分别是边AC和BC和中点。

如图，圆O是三角形ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高CD上，E,F分别是边AC和BC和中点。
求证四边形CEDF是菱形

Answer 1

∵CD⊥AB，且CD过圆心O
∴根据垂经定理：AD=BD
∵∠ADC=∠BDC=90°，CD=CD
∴△ACD≌△BCD(SAS)
∴AC=BC
∵E、F分别是AC和BC的中点,△ACD和△BCD是直角三角形
∴DE=CE=1/2AC，DF=CF=1/2BC
∴DE=CE=DF=CF
∴四边形CEDF是菱形

Answer 2

∵圆心O在这个三角形的高CD上
∴AC=BC，D是AB的中点
∵E是AC中点
∴DE∥BC，DE=BC/2，CE=AC/2

∵F是BC中点
∴DF∥AC，DF=AC/2，CF=BC/2
∴四边形CEDF是菱形