Question

如图，已知△ABC中，AB=CB=1,∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上.

如图，已知△ABC中，AB=CB=1,∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上，（直角三角板的短直角边边为DE，长直角边为DF），将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转.
（1）在图1中，DE交AB于点M,DF交BC于点N。①证明DM=DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明DMBN的面积是否继续变化？若发生变化，请说明是如何变化的。若不发生变化，求出其面积。
（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于点M，延长BC交DF于点N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请给出理由；
（3）继续旋转至如图3的位置，延长DF交BC于点N，延长DE交AB于点M,DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明.

Answer 1

因原题无图，只能根据文字叙述“猜测”图形，见附图。

解(1)、∵∠MBN+∠NDM=180°∴M、B、N、D四点共圆

故∠DNC=∠DMB（圆内接四边形的外角等于它的内对角）

作DM'⊥AB于M'，DN'⊥BC于N'，

因D是等腰直角三角形ABC斜边AC的中点

所以DM'=DN'

从而△DMM'≌△DNN'

于是DM=DN

同时DMBN的面积≡DM'BN'的面积=0.25

解（2）、如图2

∵∠MBN=∠NDM=90°∴M、B、N、D四点共圆

故∠DNC=∠DMB（同弧上的圆周角相等）

作DM'⊥AB于M'，DN'⊥BC于N'，

因D是等腰直角三角形ABC斜边AC的中点

所以DM'=DN'

从而△DMM'≌△DNN'

于是DM=DN

（3）仍然成立