Question

已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，

已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F
（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1,求DF的长

Answer 1

（1）证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，
∴∠CFD=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AEC=90°．
在Rt△AEC和Rt△DFC中，∠AEC=∠CFD=90°，∠ACE=∠DCF，DC=AC，
∴Rt△AEC≌Rt△DFC．
∴CE=CF．
∴DE=AF．
而∠AGF=∠DGE，∠AFG=∠DEG=90°，
∴Rt△AFG≌Rt△DEG．
∴GF=GE．
（2）解：∵CD⊥AB，∠A=30°，
∴CE= 1/2AC= 1/2CD．
∴CE=ED．
∴BC=BD=1．
又∠ECB=∠A=30°，∠CEB=90°，
∴BE= 1/2BC= 1/2BD= 1/2．
在直角三角形ABC中，∠A=30°，
则AB=2BC=2．
则AE=AB-BE= 3/2．
∵Rt△AEC≌Rt△DFC，
∴DF=AE= 3/2．