Question

已知∶在平行四边形abcd中:点e,f分别是ab,cd的中点，且af＝de,求证：平行四边形abc

已知∶在平行四边形abcd中:点e,f分别是ab,cd的中点，且af＝de,求证：平行四边形abcd是矩形

Answer 1

证明：

连接EF

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD，AB//CD

∵点E,F分别是AB,CD的中点

∴AE=DF，AE//DF

∴四边形AEFD是平行四边形

∵AF=DE

∴四边形AEFD是矩形【对角线相等的平行四边形是矩形】

∴∠DAE=90º

∴平行四边形ABCD是矩形【有一个角是直角的平行四边形是矩形】

追问

平行四边形的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.求证：四边形EFGH是矩形

追答

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，     

∴∠BAD+ ∠ABC=180°，∠BAD+ ∠ADC=180°

又∵AE 平分∠BAD ，BF 平分∠ABC ，     

∴∠BAF+ ∠ABF=90°，

∴∠AFB=90°

同理可得∠AED=90°，∠BGC=90°，    

∴四边形EFGH是矩形。

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追问

在三角形abc中，∠c＝90度，cd为中线，延长cd到点e，使得de＝cd.连接ae、be.求证：四边形acbe为矩形