已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x'3+bx.

若曲线y=fx与曲线y=gx在它们的交点(1,c)具有公切线,求a,b当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求在(-∞,-1]的最大值... 若曲线y=fx与曲线y=gx在它们的交点(1,c)具有公切线,求a,b
当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求在(-∞,-1]的最大值
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fanglva
2013-11-02 · TA获得超过3.4万个赞
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(1) f(x)=ax^2+1
f'(x)=2ax
f'(1)=2a
g(x)=x^3+bx
g'(x)=3x^2+b
g'(1)=3+b
在(1,c)具有公切线
f'(1)=g'(1)
2a=3+b.........(1)
f(1)=g(1)
a+1=1+b
a=b..............(2)
联解(1)(2):a=b=3
(2) a^2=4b
b=a^2/4
h(x)=f(x)+g(x)
=ax^2+1+x^3+a^2/4x
=x(x^2+ax+a^2/4)
=x(x+a/2)^2
h'(x)=(x+a/2)^2+x*2(x+a/2)
=x^2+ax+a^2/4+2x^2+ax
=3x^2+2ax+a^2/4
单增区间:h'(x)>0
3x^2+2ax+a^2/4>0
3(x+a/3)^2+a^2/4-a^2/3>0
3(x+a/3)^2-a^2/12>0
|x+a/3|>a/6
x+a/3<-a/6
x<-a/2
或者x+a/3>a/6
x>-a/6
即单增区间:x<-a/2或者x>-a/6
单减区间:-a/2<x<-a/6
h(-a/2)=-a/2(-a/2+a/2)^2=0
h(-1)=(-1)(-1+a/2)^2=-(a/2-1)^2<0
h(-1)<h(-a/2)
h(-a/6)=-a/6(-a/6+a/2)^2=-a^3/54<0
h(-a/6)<h(-a/2)
当-a/2<-1<-a/6时,h(x)max=h(-a/2)=0
当-a/6<-1时,h(x)max=h(-a/2)=0
当-a/2>-1时,h(x)max=h(-1)=-(a/2-1)^2
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