Question

证明： 如果四边形两条对角线垂直且相等，那么一次连接它的四边中点得到一个正方形。 如何证明？写一下过

Answer 1

证明：
设四边形ABCD，对角线AC⊥BD，AC=BD，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
依次连结EF、FG、GH、HE，
根据三角形中位线性质可知，
EF‖AC，EF=AC/2，HG‖AC，HG=AC/2，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理GF‖BD，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥GF，
∴四边形EFGH是矩形，
∵AC=BD，AC/2=BD/2，
∴GF=EF，
∴四边形EFGH是正方形。

Answer 2

先画个图，左上方为A点，右上方为B点，右下方为C点，左下方为D点，得四边形ABCD，取AB的中点E，BC的中点F，CD的中点G，AD的中点H，连接E、F、G、H,得四边形EFGH。(有点麻烦，为的是让你的图和我的一样）
连接A、C和B、D，AC、BD交于点O。BD交EF于点M。
∵E、F为线段AB、BC的中点
∴EF‖AC EF=1/2AC
同理：FG=1/2BD GH=1/2AC EH=1/2BD EH‖BD(不需要的结论我都没写）
∴EF=FG=GH=EH
∴四边形EFGH是菱形
∵AC⊥BD
∴∠AOB=90°
∵EF‖AC
∴∠BME=90°
∵EH‖BD
∴∠FEH=90°
∴菱形EFGH是正方形