Question

如图,已知圆内接四边形abcd对角线ac,bd交于点e,点f在对角线ac上

如图，已知圆内接四边形abcd对角线ac、bd交于点e，点f在对角线ac上，且满足角adf=角cde，角abf=角cbe，若bf=a，df=b，请用含a、b的代数式表示ac的长

Answer 1

∵ABCD为圆内接四边形 【已知】
∴∠BAC=∠BDC，∠CBD=∠CAD 【相同圆弧所对的同侧圆圆周角相等】
即：∠BAF=∠CDE，∠CBE=∠FAD
又：∠ADF=∠CDE，∠ABF=∠CBE 【已知】
∴∠BAF=∠ADF，∠FAD=∠ABF
又：△ABF∽△DAF 【两对应角相等，三角形相似】
∴AF/DF=BF/AF 【相似三角形对应边成比例】
即：AF²=BF×DF=a×b
AF=√(a×b）

∵∠ABD=∠ABF+∠FBD，∠FBC=∠CBE+∠FBD

又：∠ABF=∠CBE 【已知】
∴∠ABD=∠FBC
又：ABCD为圆内接四边形 【已知】
∴∠ABD=∠ACD 【相同圆弧所对的同侧圆圆周角相等】
∴∠FBC=∠ACD
即：∠FBC=∠FCD
同理：∠FDC=∠FCA
∴△FBC∽△FCD 【两对应角相等，三角形相似】
∴FA/FC=FC/FD 【相似三角形对应边成比例】
∴FC²=FA×FD=a×b
FC=√(a×b)

∴AC=AF+FC=2√(a×b)