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【题目】来源: 作业帮
长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=1,AA1=AD=2.点E为AB中点。

(1)求三棱锥A1−ADE的体积；
(2)求证：A1D⊥平面ABC1D1；
(3)求证：BD1∥平面A1DE.
【考点】
直线与平面垂直的判定直线与平面平行的判定棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
（1）根据AA1⊥底面ABCD，AA1=2，可知三棱锥A1-ADE的高，然后求出三角形ADE的面积，最后利用锥体的体积公式求出三棱锥A1-ADE的体积即可；
（2）欲证A1D⊥平面ABC1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1D与平面ABC1D1内两相交直线垂直，而根据条件可知AB⊥A1D，AD1⊥A1D，又AD1∩AB=A，满足定理所需条件；
（3）欲证BD1∥平面A1DE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BD1与平面A1DE内一直线平行即可，根据中位线可知OE∥BD1，又OE⊂平面A1DE，BD1⊄平面A1DE，满足定理所需条件．
【解答】
(1)在长方体ABCD−A1B1C1D1中，
因为AB=1,E为AB的中点,所以,AE=12，
又因为AD=2,所以S△ADE=12AD⋅AE=12×2×12=12,(2分)
又AA1⊥底面ABCD,AA1=2，
所以,三棱锥A1−ADE的体积V=13 S△ADE⋅AA1=13 ×12×2=13(4分)
(2)因为AB⊥平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1，
所以AB⊥A1D.(6分)
因为ADD1A1为长方形,所以AD1⊥A1D,(7分)
又AD1∩AB=A,所以A1D⊥平面ABC1D1.(9分)
(3)设AD1,A1D的交点为O，连接OE，
因为ADD1A1为正方形,所以O是AD1的中点,(10分)
在△AD1B中,OE为中位线,所以OE∥BD1,(11分)
又OE⊂平面A1DE,BD1⊄平面A1DE,(13分)
所以BD1∥平面A1DE.
