Question

∫xf(x) dx是什么意思啊？

Answer 1

这里的∫xf(x)dx表示对函数f(x)与x的乘积进行积分运算。要回答这个问题，需要了解具体的函数f(x)的表达式或特性。

1. 知识点定义来源和讲解：积分是微积分中的一个重要概念，表示函数与自变量之间的面积或曲线下的累积。在这个问题中，∫xf(x)dx表示对函数f(x)与x的乘积进行积分操作。

2. 知识点的运用：对于具体的函数f(x)，我们可以根据积分的性质和相关技巧来求解积分。常见的积分方法包括换元积分法、分部积分法、定积分等。

3. 知识点例题讲解：以下是一个求解∫xf(x)dx的例题。

例题：求解∫x³dx。

解答：对于函数f(x) = x³，我们需要对xf(x)进行积分。

根据积分的性质，我们可以将x³写成x的幂函数的形式，即x³ = x·x²。然后，我们可以使用分部积分法来求解这个积分。

分部积分法将∫u·v dx转化为u·∫v dx - ∫(u'·∫v dx)dx的形式，其中u和v分别是两个可导函数，u'是u的导数。

令u = x，dv = x² dx，那么du = dx，v = ∫x² dx = (1/3)x³。

根据分部积分法，我们可以得到：

∫x³ dx = x·(1/3)x³ - ∫(1/3)x³ dx

= (1/3)x⁴ - (1/3)∫x³ dx

将∫x³ dx移到等式的一边，得到：

(4/3)∫x³ dx = (1/3)x⁴

两边同时除以4/3，我们得到最终的结果：

∫x³ dx = (3/4)x⁴ + C

所以，∫x³ dx = (3/4)x⁴ + C（其中C为常数）。

综上所述，对于给定的函数f(x)，我们可以根据积分的性质和方法进行求解。在这个例子中，我们使用了分部积分法，求得∫x³ dx = (3/4)x⁴ + C。