Question

分配问题。排列组合

14个名额 分配给10个班，每班至少1名。求几种分法。

我假设每班已分配好1个名额，剩下四个名额 分配给10个班。为什么不可以是10*10*10*10。？
而是分类讨论？
这和4封信投10个邮箱 有10*10*10*10 种方法有什么不同

Answer 1

你写的“10*10*10*10”是排列数，多了很多种重复的情况；
如果把10个班编号依次是从1至10，比如把剩余的4个名额分给1班，2班，3班，4,班，
那么这其实就是1种情况；
但是用“10*10*10*10”的话，那么1234，1324，4231......等这些24(24!)种排列都是上面分给1,2,3,4班的情况，明明就一种情况，却算作有24种。
这个问题确实要分类讨论，可以对剩余4个名额这样分类：
① 4个班各一个； ②1个班两个，另两个班各一个；
③ 两个班各两个； ④一个班3个，一个班1个； ⑤ 一个班4个；
这样就分成了5种情况，那么分别讨论：
① 有10*9*8*7/(4!)=210 种
② 有10*9*8/(2!)=360 种
③ 有10*9/(2!)=45 种
④ 有 10*9=90 种
⑤ 有 10 种
所以一共有 210+360+45+90+10=715种。
另外，这和4封信的情况是不一样的，区别在于，4封信中那4封信是不同的；
比如把4封信依次编号为1，2，3，4，那么把第1封信投到第5个邮箱和把第2封信投到第5个邮箱是不一样的；
但是在这里4个剩余的名额是没有区别的，比如把第1个名额分配给6班和把第2个名额分配给6班是一个情况的。
希望对你有帮助，满意请采纳，谢谢~

Answer 2

4封信放入4个信箱的话是有区别的，ABCD和ACBD是不同的，共有24种；而4个名额分配给四个班，每班一个的话就只算一种方案。
每班已分配好1个名额，剩下4个名额 分到10个班。共有715种方案。
具体计算公式则是太烦了，没找出来。这是程序计算得出的。
例如，4个名额分配到3个班的答案有20种：
1:aaa
2:aab
3:aac
4:aad
5:abb
6:abc
7:abd
8:acc
9:acd
10:add
11:bbb
12:bbc
13:bbd
14:bcc
15:bcd
16:bdd
17:ccc
18:ccd
19:cdd
20:ddd
这有计算式：1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）=20
还有，4分到2的有10种：
1:aa
2:ab
3:ac
4:ad
5:bb
6:bc
7:bd
8:cc
9:cd
10:dd
1+2+3+4=10
4分到4的有35种：
1+[1+（1+2）]+[1+（1+2）+（1+2+3）]+[1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）]=1+4+10+20=35
1:aaaa
2:aaab
3:aaac
4:aaad
5:aabb
6:aabc
7:aabd
8:aacc
9:aacd
10:aadd
11:abbb
12:abbc
13:abbd
14:abcc
15:abcd
16:abdd
17:accc
18:accd
19:acdd
20:addd
21:bbbb
22:bbbc
23:bbbd
24:bbcc
25:bbcd
26:bbdd
27:bccc
28:bccd
29:bcdd
30:bddd
31:cccc
32:cccd
33:ccdd
34:cddd
35:dddd