Question

若正数a，b满足ab=a+b+3,求ab的范围 ，a+b的范围

Answer 1

若a,b为正实数，满足ab=a+b+3,求ab的范围。

、∵正数a，b
∴a+b≥2√ab∵ab=a+b+3
∴ab≥2√ab+3
解关于√ab的不等式得√ab≥3
∴ab≥9
同样用均值不等式可得ab≤（a+b)^2/4
a+b+3≤（a+b)^2/4解关于(a+b)的不等式得a+b≥6,即a+b的最小值是6.

参考:

解：∵a>0,b>0,∴ab=a+b+3>3.
令ab=u,则b=u/a,代入ab=a+b+3，得：
u=a+u/a+3=(a²+3a+u)/a
故a²+(3-u)a+u=0
由于a为实数，故其判别式：
△=（3-u）²-4u=u²-10u+9=(u-9)(u-1)≥0
即得u≥9或u≤1(舍去，因为已知u>3)
当u=ab=9时，a+b=6,且a=b=3.
即ab的取值范围为[9，+∞）.
a+b的取值范围[6，+∞）.