Question

己知：如 图，在三角形ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆心O交BC于点D，过点D作DE垂直AC

己知：如 图，在三角形ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆心O交BC于点D，过点D作DE垂直AC于点E、求征:DE是圆心 O的切线

Answer 1

连接AD，OD
∵AB是直径
∴∠ADB=∠ADC=90°
即AD⊥BC
∵AB=AC，即△ABC是等腰三角形
∴AD是∠BAC的平分线（三线合一）
∴∠BAD=∠CAD
即∠OAD=∠ODA=∠CAD（OA=OD)
∵DE⊥AC
∴∠DEC=∠ADC
∵∠C=∠C
∴△ACD∽△DCE
∴∠CDE=∠CAD=∠ODA
∵∠CDE+∠ADE=90°
∴∠ODA+∠ADE=90°
即∠ODE=90°
∴OD⊥DE
∴DE是圆O的切线

Answer 2

连接AD，OD
∵AB是直径
∴∠ADB=∠ADC=90°
即AD⊥BC
∵AB=AC，即△ABC是等腰三角形
∴AD是∠BAC的平分线（三线合一）
∴∠BAD=∠CAD
即∠OAD=∠ODA=∠CAD（OA=OD)
∵DE⊥AC
∴∠DEC=∠ADC
∵∠C=∠C
∴△ACD∽△DCE
∴∠CDE=∠CAD=∠ODA
∵∠CDE+∠ADE=90°
∴∠ODA+∠ADE=90°
即∠ODE=90°
∴OD⊥DE
∴DE是圆O的切线