Question

数学题：几何，有些难度，希望大家帮帮忙！

以三角形ABC的三边为边向外分别作正方形ABDE,CAFG,BCHK,连接EF,GF,KD。求证：以EF,GH,KD为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于三角形ABC面积的3倍。

Answer 1

你好：

其实如果发现了平移后的结果就很简单的，当然还需要三角形的面积公式，

将三角形BKD、HCG分别沿AB、AC平移，可以发现和三角形AEF重合，也就是说EF、GH、KD围成的三角形就是这三个小三角形拼凑而成，面积自然也等于这三个小三角形的面积之和。

另外，可以发现

sin∠EAF=sin∠BAC,(互补的两个角的正弦值相等),

∴S△EAF=(1/2)AE*AF*sin∠EAF,

S△ABC=(1/2)AB*AC*sin∠BAC,

AB=AE,AC=AF,sin∠EAF=sin∠BAC,

∴S△ABC=S△AEF,

同理可得

S△CGH=S△ABC,

S△BKD=S△ABC,

三个等式相加即可得到

S△AEF+S△BKD+S△CGH=3S△ABC,

即EF、GH、KD所组成的三角形的面积是△ABC面积的3倍。

谢谢！