Question

已知函数hx=2x,且hx=fx+gx,其中fx是偶函数,gx是奇函数 (1)求fx和gx的解析式

(2)证明fx是(0.正无穷)上的单调增函数 可以只答第一问照样采纳
非常着急，在线等

Answer 1

1）h(x)=2x=f(x)+g(x) 1)
以-x代入x,得：h(-x)=-2x=f(-x)+g(-x),
因f(-x)=f(x), g(-x)=-g(x),所以此式化为：-2x=f(x)-g(x) 2)
1)式与2式）两式相加得：0=2f(x),得：f(x)=0
1)式与2)式两式相减得：4x=2g(x),得：g(x)=2x

2) f(x)=0, 这是常函数。是不是题目抄错了？

追问

不好意思啊我重新打题目，已知函数hx=2的x次方，
且hx=fx+gx,其中fx是偶函数,gx是奇函数 (1)求fx和gx的解析式

追答

h(x)=2^x=f(x)+g(x) 1)
以-x代入x,得：h(-x)=1/2^x=f(-x)+g(-x),
因f(-x)=f(x), g(-x)=-g(x),所以此式化为：1/2^x=f(x)-g(x) 2)
1)式与2式）两式相加得：2^x+1/2^x=2f(x),得：f(x)=1/2*[2^x+1/2^x]
1)式与2)式两式相减得：2^x-1/2^x=2g(x),得：g(x)=1/2*[2^x-1/2^x]

2) 用定义法证：
设x1>x2>0
则f(x1)-f(x2)=2^x1-2^x2+1/2^x1-1/2^x2=(2^x1-2^x2)[1-1/(2^x12^x2)]
因为x1>x2,所以2^x1-2^x2>0, 2^x12^x2>1, 即1-1/(2^x12^x2)>0
所以上式f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
所以f(x)在x>0为增函数。

追问

不好意思啊 麻烦再解答一下这题 已知定义在实数集R上的奇函数fx，当x>0时，fx的图像时抛物线的一部分，且该抛物线经过点(1.0),(3.0),(0.3)(1)求出fx的解析式（2）写出fx的单调区间

追答

你已经违反了知道规则，应该采纳后才能追问别的问题。这题就算了。
1)依题意，设x>0时，f(x)=a(x-1)(x-3)，代入(0,3),得：3=3a,得：a=1,故f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3
x=0时，由奇函数性质，有f(0)=0
x0,由奇函数对称性，有f(x)=-f(-x)=-(x^2+4x+3)=-x^2-4x-3.

2)x>0时，f(x)=(x-2)^2-1,在x>2时单调增，在(0,2)时单调减
根据奇函数对称性，得f(x)的单调增区间为x>2及x<-2,单调减区间为(-2,2)