Question

利用等价无穷小的性质，求下列极限

图片中的第三道大题，每小题求详细过程。。。
求图片中画红圈题的详细过程

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Answer 1

1、从第一题到第七题，都是无穷小/无穷小型不定式。

2、第八题是无穷大乘以无穷小型不定式。

3、除了第八题之外，都可以直接无穷小代换。第八题

     在做一个倒数代换后，就可以无穷小代换。

4、以上八题，按照楼主的要求，全部用等价无穷小代换

     解答如下：

Answer 2

（1）、原式=limx→0 [(1+xtanx)-1]/{(1-cosx)[√(1+xtanx)+1]}，
=limx→0 x^2/{(x^2/2)*[√(1+xtanx)+1]}，(tanx~x，1-cosx~x^2/2，替换)
=limx→0 2/[√(1+xtanx)+1]
=2/[√(1+0)+1]
=1；
（2）、ln(1+x)~x，——》ln(1-2x)~-2x，
sinx~x，——》sin5x~5x，
——》原式=limx→0 -2x/5x=-2/5；
（3）、原式=limx→0 (1-cosx)/xsinx，
=limx→0 (x^2/2)/x^2，(1-cosx~x^2/2，sinx~x，替换)
=1/2。