Question

已知函数F(x)=4 的(x次方)+a•2的 (x次方+1)+4 1，当a=1时求函数F(x)的值

已知函数F(x)=4 的(x次方)+a•2的 (x次方+1)+4
1，当a=1时求函数F(x)的值域
2，若关于X的方程F(x)=0有两个大于0的实根，求a的取值范围。
3，当x属于[1，2]时 求函数f(x)的最小值

Answer 1

设2^x=t t>0
原函数变为 y=t^2+2at+4
(1) a=1 y=t^2+2t+4=(t+1)^2+3
函数在t∈（0，+无穷）上是增函数，所以t=0 y=4
所以值域为（0，+无穷）
（2）x>0 t>1
即方程t^2+2at+4=0有两个大于1的实根
t^2+2at+4 =(t+a)^2+4-a^2
对称轴t=-a>1 a<-1
最小值=4-a^2<0 -2<a<2
t=1 t^2+2at+4=5+2a>0 a>-5/2
所以a的取值范围为（-2，-1）
（3）当x属于[1，2]时 t∈【2，4】
y=t^2+2at+4=(t+a)^2+4-a^2
（i ）对称轴t=-a -a<=2 即a>=-2
函数在t∈【2，4】上是增函数
t=2 最小值=8+4a
（ii ）对称轴t=-a 2<-a<4 即-4<a<-2
函数在t∈【2，4】上，t=-a 最小值=4-a^2
（iii）对称轴t=-a -a>=4 即a<=-4
函数在t∈【2，4】上是减函数
t=4 最小值=20+8a