Question

y=-3/8x2-3/4x+3与x轴交于A.B两点,A在B左侧, 若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，

当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

Answer 1

易解得抛物线与X交点坐标为A（2，0），B（4，0）
讨论AB点形成的直角三角形：
以AB边为斜边形成的直角三角形点集合为圆方程：（x-3）^2+y^2=1
以AB为直角边形成的直角三角形点集合为直线方程：x=2或x=4
要使以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，也就是说过E（4，0）点的直线与圆方程（x-3）^2+y^2=1相切，且与x=2和x=4相交（交点不能在X轴上），与圆相切的直线方程有两条。
设经过E点（4，0）的直线方程为：y=kx+4 与圆方程：（x-3）^2+y^2=1 组成方程组，二元一次方程Δ=0
即：(x-3)^2+(kx+4)^2-1=0
(k^2+1)x^2+(8k-6)x+24=0
Δ=0 有(8k-6)^2-4*24* (k^2+1)=0
8k^2+24k-3=0
解得：k=(-6±√42)/4
所有直线方程为：y=(-6±√42)/4*x+4