Question

数列an的极限为a，若a≠0，试用定义证明a（n+1）/an的极限为1

另，若a=0，那么a（n+1）/an的极限存在否？why？

Answer 1

证明：
① 对任意 ε>0

由：lim(n->∞) an = a≠0
对：ε0=|a/2|>0 , 存在 N1，当 n>N1 时,恒有：|a|-|an|<|an-a|<ε0=|a/2| ,即：
0<|a/2|<|an|
又由：lim(n->∞) a(n+1)-an = 0
对：ε1=|a/2|ε>0 , 存在 N2,当 n>N2 时,恒有：
|a(n+1)-an|<ε1=|a/2|ε ,
② 故存在 N=max{N1,N2}

③ 当 n>N 时，
0<|a/2|<|an| ，|a(n+1)-an|<ε1=|2/a|ε

④ |a(n+1)/an -1| =|（a(n+1)-an）/an | < |a/2|ε*|a/2|=ε 恒成立。
∴lim(n->∞) a(n+1)/an = 1

若a=0，那么a（n+1）/an的极限存在否？
当然不一定存在，举个反例：
1,1,1/2,1/2,1/3,1/3，...,1/n,1/n,1/n+1,1/n+1,...

Answer 2

根据极限定理:

若f(x)的极限存在，记为A；g(x)的极限也存在，记为B。
则f(x)g(x)的极限 = A×B

∵ lim an = a
n→∞

∴ lim 1/an = 1/a
n→∞

∴ lim a(n+1)/an
n→∞
= lim a(n+1) × lim 1/an
n→∞ n→∞
= a×(1/a)
= 1

此结果与a的取值大小无关，但是，当a=0时，极限的结果可能是+1,也可能是-1。要看趋近于0的过程, 是不是正负交替出现.

不好意思,刚才欠考虑.
So sorry.