Question

已知二次函数f(x)满足f(-2)=0，且2x≤f(x)≤(x2+4)/2对一切实数都成立

(1)求f(2)的值；（2）求f(x)的解析式 用基本不等式解答

Answer 1

设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，则f(-2)=a×(-2)²+b×(-2)+c=0，可得4a+c=2b①
由f(x)≥2x，得ax²+bx+c≥2x，即ax²+(b-2)x+c≥0，此不等式对一切实数x都成立，则
a＞0且(b-2)²-4ac≤0，可得b²-4ac≤4b-4②
由f(x)≤(x²+4)/2，得ax²+bx+c≤(x²+4)/2，即(2a-1)x²+2bx+2c-4≤0，此不等式对一切实数x都成立，则
2a-1＜0且(2b)²-4(2a-1)(2c-4)≤0，可得b²-4ac+2(4a+c)-4≤0③
①代入③得b²-4ac+4b-4≤0，即b²-4ac≤-(4b-4)④
②+④得2(b²-4ac)≤0，即b²-4ac≤0
又因为f(-2)=0，即二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象与x轴有交点(-2,0)，所以b²-4ac=0⑤
所以二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象与x轴有且仅有一个交点，即(-2,0)，也是顶点
故-b/(2a)=-2⑥
⑤代入②得4b-4≥0
⑤代入④得-(4b-4)≥0，即4b-4≤0
所以4b-4=0，可得b=1
代入⑥得-1/(2a)=-2，解得a=1/4
把a=1/4，b=1代入①得4×1/4+c=2×1，解得c=1
所以f(x)的解析式为f(x)=1/4x²+x+1
f(2)=1/4×2²+2+1=4．