Question

请问向量积的定义是什么？

Answer 1

向量乘向量包括向量积和数量积。

向量积也被称为矢量积、叉积，即交叉乘积、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。

定义：两个向量a和b的叉积写作a×b，有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆。叉积可以被定义为：在这里θ表示和之间的角度，它位于这两个矢量所定义的平面上。而n是一个与和均垂直的单位矢量。

向量积的计算：

a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向）。

也可以这样定义（等效）：向量积｜c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>。即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定，运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。

Answer 2

具体地说，向量积的定义可以用以下公式表示： a × b = |a| |b| sinθ n 其中，|a|和|b|是向量a和b的长度，θ是a和b之间的夹角，n是一个单位向量，它的方向垂直于a和b所在的平面，符合右手定则。
向量积有一些重要的性质：
反交换律：a × b = -b × a，向量积不满足交换律，即交换两个向量的位置会改变结果的方向。
分配律：a × (b + c) = a × b + a × c，向量积满足分配律，即向量a与向量b+c的向量积等于向量a与向量b的向量积加上向量a与向量c的向量积。
平行四边形法则：向量积的大小等于构成的平行四边形的面积。如果a和b之间的夹角为θ，则a×b的大小等于|a| |b| sinθ。
垂直性：向量积的结果与原始向量a和b都垂直。即a×b与a和b都垂直，并且它们之间的夹角为90度。
向量积在物理学、几何学和工程学中有广泛的应用。它可以用于计算力矩、磁场、电磁感应等物理量。在几何学中，向量积可以用于计算平面的面积和法向量。在工程学中，向量积可以用于计算力矩、力的方向和作用点等。
总之，向量积是一种在向量代数中使用的运算，它可以用于计算平面的面积、力矩、磁场等物理量。它的定义是通过构成的平行四边形的面积和方向来确定的。向量积具有一些重要的性质，如反交换律、分配律、平行四边形法则和垂直性。通过理解和应用向量积，我们可以更好地理解和解决与向量相关的问题。

Answer 3

向量积，也称为叉乘或矢量积，是在三维空间中两个向量之间的一种运算。它产生一个新的向量，其方向垂直于原始向量，并符合右手法则。

两个向量的向量积定义如下：

对于给定的两个向量 A 和 B，它们的向量积 A × B 的长度等于 A 和 B 所构成的平行四边形的面积，而方向垂直于该平行四边形的法向量的方向遵循右手法则。

向量积的计算公式如下：

A × B = |A| |B| sinθ n

其中，|A| 和 |B| 表示向量 A 和 B 的长度（模），θ 表示 A 和 B 之间的夹角，n 是垂直于平行四边形所在平面的单位矢量。

需要注意的是，向量积的结果是一个新的向量，其大小为两个向量长度的乘积和它们夹角的正弦值的乘积，方向由右手法则确定。

向量积在物理学、工程学和几何学等领域有广泛应用，例如计算力矩、电磁场、角动量等。