Question

能具体解释如何用压缩映射定理吗 （泛函分析）证明:存在闭区间[0,1]上的连续函数x(t),使得

能具体解释如何用压缩映射定理吗
（泛函分析）证明:存在闭区间[0,1]上的连续函数x(t),使得x(t)=0.5sinx(t)-a(t),其中a(t)是给定的[0,1]上连续

Answer 1

设ρ是C[0,1]上的距离ρ(x,y)=max|x(t)-y(t)| (t∈[0,1]),构造映射T，
(Tx)(t)=0.5sin[x(t)]-a(t)
因为sin[x(t)]和a(t)都是连续函数，故Tx∈C[0,1]

ρ(Tx,Ty)=0.5max|sin[x(t)]-sin[y(t)]|
=max|sin{[x(t)-y(t)]/2}cos{[x(t)+y(t)]/2}| (和差化积公式)
≤max|sin{[x(t)-y(t)]/2}
≤0.5max|x(t)-y(t)|
=0.5ρ(x,y)
所以T是压缩映射(0≤0.5<1)

根据压缩映射原理，存在C[0,1]上的不动点x(t)，使x=Tx，即
:存在闭区间[0,1]上的连续函数x(t),使得x(t)=0.5sinx(t)-a(t)

追问

怎么就能直接说构造映射T

而且不应该是T(x(t))吗

要求的就是x(t)怎么sinx(t)就连续了？

追答

构造映射T使(Tx)(t)=0.5sin[x(t)]-a(t)

x(t)∈C[0,1]说明x是[0,1]连续函数sinx也是连续函数，
根据复合函数连续性sin[x(t)]连续
如果怕x用重复了那就
构造映射T使对任意ξ∈C[0,1],(Tξ)(t)=0.5sin[ξ(t)]-a(t)
因为sin[ξ(t)]和a(t)都是连续函数，故Tξ∈C[0,1]
对任意ζ，ξ∈C[0,1]
ρ(Tξ,Tζ)=0.5max|sin[ξ(t)]-sin[ζ(t)]|
=max|sin{[ξ(t)-ζ(t)]/2}cos{[ξ(t)+ζ(t)]/2}|

≤max|sin{[ξ(t)-ζ(t)]/2}
≤0.5max|ξ(t)-ζ(t)|
=0.5ρ(ξ,ζ)
所以T是压缩映射

根据压缩映射原理，存在C[0,1]上的不动点x(t)，使x=Tx，即
:存在闭区间[0,1]上的连续函数x(t),使得x(t)=0.5sinx(t)-a(t)