Question

无限数列1/(1-4*n^2)^2 求和

n为整数，从负无穷到正无穷
答案为π^2/8
求过程

Answer 1

首先，对于这个通项公式，n的阶次为偶数，所以只要求2倍正数项加〇项就好了，a0=1，剩下就按正常数列求和就好了。
4an=[1/（2n+1）-1/（2n-1）]²
=1/（2n+1）²+1/（2n-1）²-2/[（2n+1）（2n-1）]
=1/（2n+1）²+1/（2n-1）²-[1/(2n-1)-1/（2n+1）]，n≥1
看前面两项，第一项是数列1/n²中除 去1之外的奇数项，第二项完全就是1/n²中的奇数项，当n取无穷求和时1/n²中的奇数项的和是偶数项的3倍，为整体和的3/4，只要把偶数项提取个1/4出来，就变成了1/n²的形式，所以只要求1/n²的求和就行了。后一项的话就最简单了，高中应该经常遇到这样的求和，因为中间的很多都消去了，只剩首尾。1/n²的无穷求和不用我说了吧，π²/6，那么第一项加第二项就是2倍的奇数项减去1，应该是π²/4-1，再加后一项的-1，就是π²/4-2。但这是4an求和的结果，所以还要除以4，即π²/16-1/2。
所以整个数列负整数项和正整数项的和为π²/8-1，〇项为1，最后结果是π²/8