Question

一道数学集合题

已知集合A={2,4,a³-2a²—a+7},B={-4,a+3,a²—2a+2,a³+a²+3a+7}，若A∩B={2,5},求实数a的数值，并求A∪B？
请给我答案，解题思路，以及具体做法，谢谢。

Answer 1

A∩B={2,5},A当必有5，a³-2a²—a+7=5得a=-1，1，2
（1）当a=-1时，B=｛-4，2，5，4｝，A∩B={2,，4，5},所以不符；
（2）当a=1时，B=｛-4，4，1，12｝，A∩B不为｛2，5｝；
（3）当a=2时，B=｛-4，5，2，25｝，A∩B={2,5}。
所以a=2.
A∪B=｛-4，2，4，5，25｝。

Answer 2

∵A∩B={2,5}
∴a³-2a²—a+7=5，即（a-2)(a+1)(a-1)=0，∴a=2或1或-1
∴当a=2时，a+3=5，a²—2a+2=2，a³+a²+3a+7=25，
∴B={-4,2,5,25}，A∪B={-4,2,4，5,25}
当a=1时，a+3=4，a²—2a+2=1，a³+a²+3a+7=12
∴B={-4,2,4,12}，此时，A∩B={2,4,5}与A∩B={2,5}不符，舍
当a=-1时，a+3=2，a²—2a+2=5，a³+a²+3a+7=4
∴B={-4,2,4,5}，此时，A∩B={2,4,5}与A∩B={2,5}不符，舍
综上，a=2，A∪B={-4,2,4，5,25}