Question

f(x)=x²+ax+b ，若存在m，使得|f(m)|<1/4,|f(m+1)|<1/4.求判别式△=a²-4b的范围

Answer 1

判别式 △=a^2-4b的范围是：0<a^2-4b<2 ；分析如下
f(x)=x^2+ax+b，化成顶点是：f(x)=(x+a/2)^2+b-(a^2)/4
可知二次函数f(x)的顶点是：(-a/2，b-(a^2)/4)
由于△=a^2-4b=(-4)*[b-(a^2)/4]，所以讨论△的范围，实际上是讨论顶点纵坐标的取值范围。
首先，考虑当△=0，也就是顶点在x轴上的情况；此时 f(x)=(x+a/2)^2 ；
函数对称轴是：x=-a/2，那么 f(-a/2-1/2)=1/4 ，f(-a/2+1/2)=1/4 ；
记 A(-a/2-1/2,1/4)，B(-a/2+1/2,1/4)，A和B这两个点关于对称轴对称；
由题意，存在m使得 -1/4<f(m)<1/4 且 -1/4<f(m+1)<1/4 ，
如果 m=-a/2-1/2 ，那么 f(m)=1/4 是不满足条件的；
如果 m<-a/2-1/2 ，那么 f(m)>f(-a/2-1/2)=1/4 也不满足；
如果 m>-a/2-1/2 ，f(m+1)>f(-a/2+1/2)=1/4 也不满足；
也就是当△=0，不存在m满足题意，所以△≠0；
从上述讨论可以看出，假如△<0，即顶点纵坐标b-(a^2)/4>0，相当于把之前△=0时的函数图像向上平移，那么也同样地，对任意的m，要么f(m)>1/4，要么f(m+1)>1/4，也不满足条件。
所以△>0，即顶点纵坐标b-(a^2)/4<0；从上述讨论可知，当b-(a^2)/4从0开始减小时，
f(-a/2-1/2)=f(-a/2+1/2)<1/4，f(-a/2-1/2)的值从1/4减小到-1/4，在这个范围内(两个端点情况不包括)，
取 m=-a/2-1/2 都是满足条件的；
当 f(-a/2-1/2)=-1/4 时，由 f(x)=(x+a/2)^2+b-(a^2)/4 可知顶点纵坐标 b-(a^2)/4=-1/2 ；
另外，此时 f(-a/2-3/2)=f(-a/2+3/2)=(3/2)^2-1/2=7/4 ；
如果当 b-(a^2)/4<=-1/2 ，由f(-a/2-3/2)=f(-a/2+3/2)=(3/2)^2-1/2=7/4>1/4，
以及f(-a/2-1/2)=及f(-a/2+1/2)<-1/4，也不存在m满足条件。
综上所述，顶点纵坐标满足：-1/2<b-(a^2)/4<0 ，由 △=a^2-4b=(-4)*[b-(a^2)/4] ，
可知判别式△的范围是：0<a^2-4b<2 。