Question

f(x)=½x²-（a+1)x+alnx 求f(x)的单调增区间。求解 应该怎么讨论啊。

Answer 1

∵f(x)=½x²-（a+1)x+alnx
∴f′(x)=x-(a+1)+a·1/x
(x>0)
=x²-(a+1)x+a/x
令f′(x)>0
既x²-(a+1)x+a/x>0且x∈﹙0,﹢∞﹚
∴只需x²-(a+1)x+a>0
令x²-(a+1)x+a=0
解得x=1或x=a
①a≤0时
x²-(a+1)x+a>0在﹙1，＋∞﹚恒成立
∴f(x)的单增区间为﹙1，＋∞﹚
②0<a<1时
x²-(a+1)x+a>0在（0，a）∪（1，＋∞﹚恒成立
∴f（x）的单增区间为（0，a），（1，＋∞﹚
③a=1时
x²-(a+1)x+a>0在（0，1）∪（1，＋∞﹚恒成立
∴f（x）的单增区间为（0，1），（1，＋∞﹚
④a＞1时
x²-(a+1)x+a>0在（0，1）∪（a，＋∞﹚恒成立
∴f（x）的单增区间为（0，1），（a，＋∞﹚
综上
当a≤0时，f(x)的单增区间为﹙1，＋∞﹚
当0<a<1时，f（x）的单增区间为（0，a），（1，＋∞﹚
当a=1时，f（x）的单增区间为（0，1），（1，＋∞﹚
当a＞1时，f（x）的单增区间为（0，1），（a，＋∞﹚

Answer 2

解：(1)依题意，f（x）=f（x）-g（x）=2x-lnx，故导函数为2-（1／x），令导函数≥0，解得x≥1／2，因为f（x）的定义域为（0，+无穷），故f（x）在（0，1／2）上单调递减，在【1／2，+无穷）上单调递增。
（2）令g（x）=f（x）-g（x）=2x-alnx，故导函数为2-（a／x），令导函数=0，解得x=（a／2），所以g（x）min=g（a／2）=a-alna=a（1-lna）≥0恒成立。因为a＞0，所以（1-lna）≥0，即
lna≤1，故解得0＜a≤e
（3）（数学归纳法）
①当n=2时，左式=ln2≤右式=2/e
恒成立
②假设：当n=k时，lnk≤（k平方+k-2）/2e
恒成立
③证明：当n=k+1时，………………老兄自己证吧，很简单的，我没时间了