Question

高数曲面积分中的证明问题，求详细解答

Answer 1

其实这个题目很简单的，
关键在于楼主被各种符号弄晕了。
下面用u'n代表u在L法向量上的偏导数。

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设L的单位切向量为s0, 单位法向量为n0
下面的ds设个标量，s0和n0都是向量
那么s0ds=dxi+dyj
且(n0ds)*(s0ds)=(ds)^2*(s0*n0)=0
且|n0ds|=|s0ds|=ds
所以n0ds= dyi-dxj

以上只是要得到n0ds= dyi-dxj。如果知道这一结论，可以不管上面的部分。
证明从右边的∮v*(u'n)ds开始，

因为(u'n)ds=gradu*n0ds=(u'x i+u'y j)*(dyi-dxj)=u'x dy-u'y dx

所以根据格林公式
∮v*(u'n)ds=∮v*(u'x dy-u'y dx)=∫∫D [(vu'x)'x-(-vu'y)'y]dxdy
=∫∫(v'x*u'x+vu''xx+v'y*u'y+vu''yy)dxdy
=∫∫D(u'x*v'y+u'y*v'x)dxdy+∫∫D v(u''xx+u''y)dxdy
=∫∫D (gradu*gradv)dxdy+∫∫D vΔudxdy

所以移项得到∫∫D vΔudxdy= -∫∫D (gradu*gradv)dxdy+∮v*(u'n)ds

2方法同一，用同样的步骤，可以证得
∫∫D uΔvdxdy= -∫∫D (gradu*gradv)dxdy+∮u*(v'n)ds
两个等式相减，就得到
∫∫(uΔv- vΔu)dxdy=∮[u*(v'n)-v*(u'n)]ds