Question

函数在某一点可导，则函数在这点肯定连续，但是在这点的邻域连续吗？？高手来回答，如果不是请举反例

函数在某一点可导，则函数在这点肯定连续，但是在这点的邻域连续吗？？

高手来回答，如果不是请举反例

Answer 1

不是。

首先，函数在点x0处可导，则函数在点x0处连续。进而存在一个x0的邻域，函数在这个邻域内连续。注意“存在”二字。

其次，可以认为邻域是一个微观的概念。邻域的半径是不确定的，一般认为很小很小（甚至可以认为比任意的具体的正实数都要小，但是一个正数），只是一个定性的描述。

最后，举反例。对于函数y=1/x,在x=1/200处是可导的，在邻域（1/200-1/200,1/200+1/200)是连续的，但是在邻域（1/200-1/100,1/200+1/100)是不连续的。

简介

在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。

常用的连续性的最根本定义是在拓扑学中的定义，在条目连续函数 (拓扑学)中会有详细论述。在序理论特别是域理论中，有从这个基础概念中得出的另一种抽象的连续性：斯科特连续性。

Answer 2

不是。
首先，函数在点x0处可导，则函数在点x0处连续。进而存在一个x0的邻域，函数在这个邻域内连续。注意“存在”二字。
其次，可以认为邻域是一个微观的概念。邻域的半径是不确定的，一般认为很小很小（甚至可以认为比任意的具体的正实数都要小，但是一个正数），只是一个定性的描述。通俗地，可以想象，可以保证在一个半径很小很小的邻域连续，能保证在半径稍大一点的邻域连续吗？显然不一定。
最后，举反例。对于函数y=1/x,在x=1/200处是可导的，在邻域（1/200-1/200,1/200+1/200)是连续的，但是在邻域（1/200-1/100,1/200+1/100)是不连续的。前者半径1/200,后者半径1/100.