Question

求绝对值不等式性质证明

(1)证明 |a+b|≤|a|+|b|
(2) 证明|a+b|≥|a|-|b|
谢谢！

Answer 1

综述如下：

-|x|≤x≤｜x|

=> -2|a|·|b|≤2ab≤2|a|·|b|

=> a²+b²-2|a|·|b|≤a²+b²+2ab≤a²+b²+2|a|·|b|

=> 0≤（｜a|-|b|)²≤｜a+b|²≤（｜a|+|b|)²

=> |a|-|b|≤｜a+b|≤｜a|+|b|

用符号“＞”“＜”表示大小关系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等号也可以为中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

整式不等式：

整式不等式两边都是整式（即未知数不在分母上）。

一元一次不等式：含有一个未知数（即一元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式。如3-x>0

同理，二元一次不等式：含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是1次（即一次）的不等式。

Answer 2

证明：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
当a,b<0时，IaI=-a, IbI=-b, 那么:
|a|-|b|=-a-(-b)=b-a,
Ia+bI=-(a+b),
|a|+|b|=-a+(-b)=-(a+b).
而-(a+b)>b-a,故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。

当a,b=0时，IaI=0, IbI=0, 那么: |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|=0成立。

当a,b>0时，IaI=0, IbI=0, 那么:
|a|-|b|=a-b,
Ia+bI=a+b,
|a|+|b|=a+b.而a+b>a-b, 故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。

当a<0,b>0时
|a|-|b|=-a-b,
Ia+bI=a+b(|a|<|b|)或-b-a(|a|>|b|),
|a|+|b|=-a+b.
而-a+b>a+b且-a+b>-a-b,
故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。

当a>0,b<0时
|a|-|b|=a-(-b),
Ia+bI=a+b(|a|>|b|)或-b-a(|a|<|b|),
|a|+|b|=a-b.
而a-b>-b-a,且a-b>a+b,
故 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。

综上所述：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 成立。
故： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

打的好累啊。。
求个好评~

Answer 3

(a+b)²=a²+2ab+b² ≤ |a|²+2|a||b|+|b|²=(|a|+|b|)²
所以|a+b|≤|a|+|b|

Answer 4

-|x|≤x≤|x|
=> -2|a|·|b|≤2ab≤2|a|·|b|
=> a²+b²-2|a|·|b|≤a²+b²+2ab≤a²+b²+2|a|·|b|
=> 0≤( |a|-|b|)²≤|a+b|²≤( |a|+|b|)²
=> |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|