Question

曲线y=根号下（x-1）,过原点作曲线的切线,求曲线、切线与x轴所围图形绕x轴旋转的表面积。

Answer 1

具体回答如下：

根据题意可计算：

绕x轴旋转一周所得的体积

=∫<0,2>π(x/4)dx-∫<1,2>π(x-1)dx

=(π/12)(2-0)-π(2/2-2-1/2+1) 

=2π/3-π/2 =π/6

 绕y轴旋转一周所得的体积

=∫<0,2>2πx(x/2)dx-∫<1,2>2πx√(x-1)dx 

=π∫<0,2>xdx-2π∫<1,2>[(x-1)^(3/2)+(x-1)^(1/2)]dx 

=(π/3)(2-0)-2π[(2/5)(2-1)^(5/2)+(2/3)(2-1)^(3/2)] 

=8π/3-32π/15 

=8π/15

曲线的意义：

设Oxyz是欧氏空间E3中的笛卡儿直角坐标系，r为曲线C上点的向径，于是有。上式称为曲线C的参数方程，t称为曲线C的参数，并且按照参数增加的方向自然地确定了曲线C的正向。曲线论中常讨论正则曲线，即其三个坐标函数x(t)，y(t)，z(t)的导数均连续且对任意t不同时为零的曲线。

对于正则曲线，总可取其弧长s作为参数，它称为自然参数或弧长参数。弧长参数s用来定义，它表示曲线C从r(α)到r(t)之间的长度，以下还假定曲线C的坐标函数都具有三阶连续导数，即曲线是C3阶的。

Answer 2

解：绕x轴旋转一周所得的体积=∫<0,2>π(x/4)dx-∫<1,2>π(x-1)dx =[(π/12)x]│<0,2>-[π(x/2-x)]│<1,2> =(π/12)(2-0)-π(2/2-2-1/2+1) =2π/3-π/2 =π/6； 绕y轴旋转一周所得的体积=∫<0,2>2πx(x/2)dx-∫<1,2>2πx√(x-1)dx =π∫<0,2>xdx-2π∫<1,2>[(x-1)^(3/2)+(x-1)^(1/2)]dx =[π(x/3)]│<0,2>-2π[(2/5)(x-1)^(5/2)+(2/3)(x-1)^(3/2)]│<1,2> =(π/3)(2-0)-2π[(2/5)(2-1)^(5/2)+(2/3)(2-1)^(3/2)] =8π/3-32π/15 =8π/15。