Question

齐次微分方程？

Answer 1

（1）(y^2-3x^2)dy+2xydx=0
(y^2-3x^2)dy=-2xydx

dx/dy=3x/2y-y/2x
令u=x/y，则x=yu，dx/dy=u+ydu/dy
u+ydu/dy=3u/2-1/2u
2ydu/dy=u-1/u
2u/(u^2-1)du=dy/y
ln|u^2-1|=ln|y|+C，其中C是任意常数

u^2-1=Ce^y
(x/y)^2=Ce^y+1
x^2=C*y^2*e^y+y^2
因为当x=0时，y=1
所以0=C*e+1，C=-1/e
满足条件的特解为：x^2=y^2-y^2*e^(y-1)
（2）(x^2+2xy-y^2)dx+(y^2+2xy-x^2)dy=0
(1+2y/x-y^2/x^2)+(y^2/x^2+2y/x-1)dy/dx=0
令u=y/x，则y=xu，dy/dx=u+xdu/dx
(1+2u-u^2)+(u^2+2u-1)(u+xdu/dx)=0
u+xdu/dx=(u^2-2u-1)/(u^2+2u-1)
xdu/dx=(-u^3-u^2-u-1)/(u^2+2u-1)
(u^2+2u-1)/(u^3+u^2+u+1)du=-dx/x
[-1/(u+1)+2u/(u^2+1)]du=-dx/x
ln|u+1|-ln|u^2+1|=ln|x|+C，其中C是任意常数
(u+1)/(u^2+1)=C*x
u+1=(u^2+1)*C*x
y/x+1=(y^2/x^2+1)*C*x
y+x=(y^2+x^2)*C
因为当x=1时，y=1
所以1+1=(1^2+1^2)*C，C=1
满足条件的特解为：y+x=y^2+x^2

Answer 2

解：∵微分方程为(y²-3x²)dy+2xydx=0，
化为y²-3x²+2xydx/dy=0
又∵dx²/dy=2xdx/dy ∴设x²=u，
有y²-3u+ydu/dy=0，
(1/y³)du/dy-3u/y^4=1/y²，
(u/y³)'=1/y²，u/y³=c-1/y
(c为任意常数)，方程的通解为
x²=cy³-y²
∵y|(x=0)=1 ∴有c=1
∴方程的特解为x²=y³-y²
解：∵微分方程为(x²+2xy-y²)dx+(y²+2xy- x²)dy=0，化为dy/dx=(y²-2xy-x²)/
(y²+2xy-x²)
∴设y=ux，有dux/dx=(u²-2u-1)/
(u²+2u-1)，xdu/dx+u=(u²-2u-1)/
(u²+2u-1)，xdu/dx=(-u³-u²-u-1)/
(u²+2u-1)，
-(u²+2u-1)du/[(u+1)(u²+1)]=dx/x，
[1/(u+1)-2u/(u²+1)]du=dx/x，
ln|(u+1)/(u²+1)|=ln|x|+ln|c|
(c为任意非零常数)，
u+1=cx(u²+1)，xu+x=c(u²x²+x²)
∴方程的通解为y+x=c(y²+x²)