Question

初中数学题，急需答案求大神，我做了很久都没做出来，重金悬赏

已知△ABC为等腰直角三角形，D为中点，已知∠APB=135°，连接CP,PD，求证CP=根号二倍的PD

Answer 1

先给你个高一的方法，肯定对，就是不知道你看不看得懂

接下来是初三的方法，不过少了关键一步，你让我再想想（明天晚上给你答复）

作BE垂直AP，AF垂直BP

∠PAB=∠CBP（易证）

△AFP相似△BEP

（这中间少了一个证明）

所以AP:PB=1：根号2

又因为AD：BC=1：根号2

∠PAB=∠CBP

所以△APD相似△CPB

CP=根号二倍的PD

追问

哦

追答

我上面用的初三的方法全部错了，是不可能证相似的

你可以先用特殊法。
设P在CD上，所以AP平分∠CAD，由此看出△APD不可能相似△CPB，所以答案不可能由证△APD相似△CPB得出。
正确的方法是：作PE⊥BC，PF⊥AC，CFPE为正方形，很容易得出CP=根号2PD
于是我觉得，正确的方法就是做垂线。

我现在还没有做出来，不过你可以先用这种方法思考一下。我晚点再给你答复。

追问

BP垂直平分MP’怎么得

Answer 2

把三角形ACP绕C旋转使AC和BC重合，连接PP‘，延长PD到M，使MD=PD，连接BM，MP‘。 证得PP'=√2CP,BP垂直平分MP’，PM=PP‘。PP’=2PD=√2CP，除根号2得证。

现在回答还有分吗？

Answer 3

证明三角形adp相似三角形bcp，其中角acp加角pab等于45度，角pab加角pba也等于45度，所以角cap等于角pba，由于角a角b都等于45度，所以角pab等于角cbp，角cpd也等于135度，得角apd等于角cpb，ad等于2分之根2，cb等于1，相似三角形两条边一比就的。

追问

∠CPD为什么等于135°，就这个不懂

Answer 4

给你提供一种较为简单的方法，但是需要较强的计算能力作为基础，
连接CD，S四边形CPDB=S CPD+S CDB很显然，这时利用海伦公式及推广式即可得证比例
计算过程暂不列举（打起来好慢）

追问

老师说全靠计算肯定不行

追答

请问是初中吗？如果是的话在没学过竞赛的情况下的确不建议使用。海伦公式初中教材提到过，但是推广式要有四点共圆为基础来使用。本题可以使用该方法。若不理解，我可以给你较麻烦的初中做法。

追问

行，圆还没学

追答

额，我之前没仔细想，上面的方法有点问题，不好意思。题目仅说∠APB=135°，，这实际上可理解为P是动点，是在一个圆上的动点。你可以先试下P在CD上时，这种情况比较好证。我想出的初中做法还是计算，很简单的计算，建一个直角坐标系即可。具体做法如果你需要我可以给你。