Question

各项都是正数的等比数列 an中,3a1,1/2a3,2a2成等差数列,则(a2010+a2014)/(a2013+a2011)

Answer 1

解：
3a1,1/2a3,2a2成等差数列
a3=a1q^2=3a1+2a1q、q^2-2q-3=0、q=-1(舍去)、q=3。

(a2010+a2014)/(a2013+a2011)
=(a2010*q+q^4*a2010)/(a2010*q^3+a2010*q)
=(q+q^4)/(q+q^3)
=q(1+q^3)/q(1+q^2)
=1+q^3/1+q^2
=(1+8)/(1+4)
=9/5

Answer 2

因为3a1,1/2a3,2a2成等差数列
所以2×（1/2a3)＝3a1+2a2
所以a3＝3a1+2a2
又因为an是等比数列
所以a1×q^2=3a1+2a1×q
所以q^2-2×q-3＝0
所以q＝3或q＝-1（舍弃，因为各项都是正数）
所以q＝3
所以(a2010+a2014)/(a2013+a2011)＝（a1×q^2009+a1×q^2013）/(a1×q^2012+a1×q^2010)
＝[a1×q^2009×（1+q^4）]/ [a1×q^2010 ×（1+q^2）]
=(1+q^4）/ [q×（1+q^2）]
把q＝3代入上式得：(a2010+a2014)/(a2013+a2011) =(1+3^4）/ [3×（1+3^2）] =82/30=41/15
即：(a2010+a2014)/(a2013+a2011) ＝41/15