Question

已知f(x)=a的x次方-1/a的x次方+1 (a大于0且a不等于1) 求f(x)的定义域和值域 并讨论f(x)的单调性

当a>1
a^x增函数，a^x+1增，2/(a^x+1)减，1-2/(a^x+1)增，——为什么？怎么判断为增函数的？

Answer 1

答：
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)
f(x)=(a^x+1-2)/(a^x+1)
f(x)=1 -2/(a^x+1)
因为：a^x>0恒成立
所以：a^x+1>1恒成立
所以：f(x)的定义域为实数范围R

因为：0<1/(a^x+1)<1
所以：-2<-2/(a^x+1)<0
所以：1-2<f(x)<1+0
解得：-1<f(x)<1
所以：f(x)的值域为（-1,1）

1）0<a<1时：
a^x是单调递减函数，a^x+1是单调递减函数
1/(a^x+1)是单调递增函数
所以：-2/(a^x+1)是单调递减函数
所以：f(x)是单调递减函数

2）a>1时：

a^x是单调递增函数，a^x+1是单调递增函数
1/(a^x+1)是单调递减函数
所以：-2/(a^x+1)是单调递增函数
所以：f(x)是单调递增函数

追问

1/(a^x+1)是单调递减函数，怎末判断的？

追答

因为：

a^x+1是单调递增，1/(a^x+1)相当于y=1/x反比例函数一样单调递减

追问

那1-2/(a^x+1)为增？又相当于什么……数学不太好的说

追答

加了负号就是增啊

Answer 2

这是由指数函数y=a^x在a>1时为增函数所确定的

追问

2/(a^x+1)减，求图

追答

你要局部图像如下：

追问

虽然有点晚，还是很感谢

Answer 3