Question

在数列an中,a1=1,an+1=an/an+3,求通项公式an。数列bn满足bn=(3^n-1)×n/2^n×an

在数列an中,a1=1,an+1=an/an+3,求通项公式an。数列bn满足bn=(3^n -1)×n/2^n×an,数列bn的前n项和为Tn,若不等式（-1）^nx<Tn+n/2^n-1对一切n∈N*恒成立，求x的取值范围

Answer 1

a1=1,an+1=an/an+3

1/a(n+1)=3/an+(1)
[1/a(n+1)]+1/2=3[1/an+(1/2)]
1/an+(1/2)=(1/a1+1/2)3^(n-1)=3^n/2
an=2/[(3^n)-1]
2)bn=(3^n -1)×n/2^n×an=n/[2^(n-1)]

Tn=b1+b2+...+bn=1+2/2+3/2^2+4/2^3+....+(n-1)/[2^(n-2)]+n/[2^(n-1)]
1/2Tn=1/2+2/2^2+3/2^3+....+(n-2)/[2^(n-2)]+n/2^n
1/2Tn=1+1/2+1/2^2+...+1/2(n-2)-n/2^n=[1-(1/2)^n]-n/2^n
Tn=2-[(n+1)/2(n-1)]
（-1）^nx<Tn+n/2^n-1

（-1）^nx<2-[1/2^(n-1)]