Question

x＞0 y＞0 则满足x+2y+xy=30,求xy最大值，并求此时x ，y的值

Answer 1

思路：借助基本不等式可以求出，基本不等式是：a+b≥2√(ab)，由(√a-√b)²≥0展开即得，其中a、b≥0，等号当且仅当a=b时成立。

解：利用基本不等式，得：
x+2y≥2√(x×2y)=2√2×√(xy)
所以
30=x＋2y＋xy≥2√2×√(xy)+xy
即：xy+2√2×√(xy)-30≤0，
为方便起见，令k=√(xy)，显然k≥0，则上式变形为：
k^2+(2√2)k-30≤0
解这个不等式，得：
0≤k≤3√2
所以
xy=k²≤(3√2)²=18
其中等号当且仅当x=2y即x=6、y=3时成立。
故xy的最大值为18。