Question

证明…若xn的极限是a那么xn的绝对值的极限是a的绝对值

Answer 1

0|a|。

反之不真，请看例子：

xn=1,当n为奇数时，xn=-1,当x为偶数时。

显然，|xn|=1,故xn|-->1，而xn的极限不存在。

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

证明

数列Xn有极限a，则

对于任意给出的一个正数ε，都存在一个正整数N，使得n>N时，

|Xn-a|<ε成立

又||Xn|-|a||<|Xn-ua<ε

所以

对于任意给出的一个正数ε，都存在一个正整数N，使得n>N时

||Xn|-|a||<ε成立

即|Xn|的极限趋于|ua

得证

追问

你中间那个绝对值不等式是怎么回事啊

追答

0|a|.
反之不真，请看例子：
xn=1,当n为奇数时，xn=-1,当x为偶数时。
显然，|xn|=1,故xn|-->1，而xn的极限不存在。

由绝对值的三角不等式可以知道
0≤||Xn|-|a||≤|Xn-a|

由于Xn极限为a，所以不等式右侧极限为0，而不等式左侧恒为0
有两边夹定理，中间的极限为0
即Lim|Xn|=|a|

追问

好的谢谢