Question

已知{an}为等比例数列,前3项之积为2,最后3项之积为4,且前n项之积为64,求n=

Answer 1

设等比数列的通项为an,公比为q，则有an=a(n-1)*q
将an分成三个三个一组，得到n/3组
每组三个乘积设为bn=a(3n-2)*a(3n-1)*a3n,，则b1=a1*a2*a3=2，b(n/3)=a(n-2)*a(n-1)*an=4

又由bn/b(n-1)=a(3n-2)*a(3n-1)*a3n/a(3n-5)*a(3n-4)*a(3n-3)=q^9
所以bn也为等比数列，设公比为k
所以bn为以2为首项，4为尾项，共有x项(x=n/3)，乘积为64的等比数列
由b(x)/b1=k^(x-1)=2
所有项乘积为 b1*b2*...*bx=2^x*k^[x(x-1)/2]=64
将k^(x-1)=2代入得
2^(3x/2)=64
解得x=9
所以n=3x=27