Question

急，高中数学题

当X∈（1，2）时，不等式（X-1)^2<logaX恒成立，求实数a的取值范围，答案中
a为什么可以等于2，给出的不等式不是没有等号嘛！！

Answer 1

(x-1)^2<loga(x)在（1，2）恒成立
即y=(x-1)^2的图像在y=loga (x)在图像的下方
利用图像
y=(x-1)²在（1,2 )上的图像，是一个上升的图像，左端点（1,0），右端点（2, 1)
y=loga(x)
(1)0<a<1
利用图像，易知不成立
(2) a>1
则只需图像的右端点(2,loga(2))在（2,1)的上方，（可以重合）
loga(2)≥1
loga(2)≥loga(a)

∴ a>1且2≥a
∴ 1<a≤2 所以 1<a≤2

追问

为什么可以重合！

追答

∵函数y=（x-1）2在区间（1，2）上单调递增，
∴当x∈（1，2）时，y=（x-1）2∈（0，1），
若不等式（x-1）2＜logax恒成立，
则a＞1且1≤loga2
即a∈（1，2]，
故答案为：（1，2]

Answer 2

这是由于x的取值不能取2，所以a可以大胆的取2(逆向考虑:就取a等于2，要使不等式两边相等，x必须取2，但遗憾的是x取不到)

追问

有点懂了，打个比方如果a可以取一，是不是a也可以等于1

有点懂了，打个比方如果a可以取一，是不是a也可以等于1

有点懂了，打个比方如果a可以取一，是不是a也可以等于1

Answer 3

因为在图像上logaX为凸函数，（X-1)^2为凹函数，当x无限趋近于2时，logaX图像始终在（X-1)^2图像上方。

我画了一个图，但是电脑不太好发，如果有不会的可以再问我

追问

有点懂了，打个比方如果a可以取一，是不是a也可以等于1

追答

前面的a是x吧。如果x取1，a不能等于1。
因为在x无限趋近于1的时候，logaX和（X-1)^2无限趋近于0，而logaX图像始终在（X-1)^2图像上方
，所以这时a可以等于1,。
但是当x能取到1时，a等于2，那么logaX和（X-1)^2都能取到0，这时就有等于的关系了，违背题中的＜
对不起，我好像看错你的问题了，如果a=1带入题中成立，那么就可以取到

追问

那么请问下次遇到这种题应该怎么做，因为没取到等于2，所以这次分丢的不明不白

追答

你下次做题时，如果看到x取值是开区间，你就要考虑能否取到的问题。方法是将值带入检验，如果符合题意则可以取到，如果违背，则不取到。
如果x全为闭区间，那么就不会有这样的取临界值的问题。
还有什么不清楚的吗？

还有什么问题吗？

还有什么问题吗？

Answer 4

因为X取不到2，即使a=2，不等式也成立

追问

为什么x娶不到2，a就可以等，主要是题该怎么分析…

追答

X（1，2）开区间当然取不到2

Answer 5

因为X取不到2

追问

为什么x娶不到2，a就可以等2，主要是题该怎么分析

追答

题目条件给的就是X取不到2，是开区间啊

追问

那么a可以等于2是怎么看出来的

追答

如果根据答案来的话，把X等于2带入左边取到最大值为1 当a=2时右边为1，又因为X取不到2所以a可以取等号，如果是解题的话我觉得应该是要画图做的，你可以再试试啊