Question

已知函数f(x)=x^2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值，则函数g(x)=f(x)/x在区间(1,+∞)上一定是增函数。

就具体过程。谢谢。

Answer 1

因为函数在开区间上有最小值，开口又向上，所以对称轴x=a中的a<1（因为已知区间是开区间），所以g(x)=x+a/x-2a,（这里分三步）
若0<a<1，则有函数在（根号a,+∞）单调递增，而根号a<1，所以函数在区间(1,+∞)上递增
若a=0,则该函数为一次函数，且k>0，所以函数在区间(1,+∞)上递增
若a<0,函数在区间(1,+∞)上递增（可以根据定义证明）
综上，结论成立。

追问

蟹蟹！

Answer 2

f(x)=x^2-2ax+a=(x-a)^2+a-a^2
在区间(-∞,a]单调下降，[a,+∞)单调 增加
若a<1，则f(x)在区间(-∞,1)上是在x=a处有最小值
若a>=1，则f(x)在区间(-∞,1)上单调下降, 没有最小值
所以a<1

g(x)=f(x)/x=x-2a+a/x
g'(x)=1-a/x^2
当x>1时 g'(x)=(x^2-a)/x^2>0 注意x^2>1>a
则函数g(x)=f(x)/x在区间(1,+∞)上一定是增函数。

Answer 3

由f(x)在区间(-∞,1)上有最小值，推出a的定义区间在(-∞,1)，对g(x)求导，g'=1-a/x^2, 根据x
区间(1,+∞)和a的定义区间在(-∞,1)，可知a<0,a=0,0<a<1时，g' 恒大于0，所以可知g(x)在区间(1,+∞)上一定是增函数。

Answer 4

解：应选D，解答如下：
由于已知函数f(x)=x^2-2ax+a在区间(-无穷，1)上有最小值，注意是开区间而不是闭区间，故对称轴一定在该开区间内，即a<1，否则无最小值；
又g（x）=f（x）/x = x + a/x - 2a，
（1）在x>0，a>0时，该g（x）函数图像为V形，最小值由基本不等式可知
g（x）= x + a/x - 2a
>=2√(x * a/x) -2a
=2√a -2a
当且仅当x = a/x即x = √a时取到，而此时x=√a <1，故在（1，+∞）上为单调增函数，且无最值（当然你也可以用导数来做）；
（2）在x>0，a<=0时，
g（x）= x + a/x -2a，函数y=x-2a与y=a/x均为增函数，两个增函数相加所得的新函数g（x）显然也是增函数，而且在（1，+∞）上无最值。
综上故选D。

追问

这不是百度来的么。。有些看不懂