Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥

已知：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：CF=EH．

Answer 1

证明：（1）∵AE⊥AF，∠CAB=90°，
∴∠EAF=∠CAB=90°
∴∠EAF-∠EAC=∠CAB-∠EAC即∠BAE=∠CAF，
∵CF⊥BD，
∴∠BFC=90°=∠CAB，
∴∠BDA+∠ABD=90°，∠DCF+∠FDC=90°，
∵∠ADB=∠FDC，
∴∠ABD=∠DCF，
在△ABE和△ACF中，

∠BAE＝∠CAF AB＝AC ∠ABD＝∠DCF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
（2）∵由（1）知△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∵∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∵AH⊥BF，
∴∠AHF=∠AHE=90°=∠CFH，
∴∠EAH=180°-∠AHE-∠AEF=45°=∠AEF，
∴AH=EH，
∵D为AC中点，
∴AD=CD，
在△ADH和△CDF中，

∠AHF＝∠CFH ∠ADB＝∠FDC AD＝CD

，
∴△ADH≌△CDF（AAS），
∴AH=CF，
∴EH=CF．